シュレディンガー(Schrödinger)方程式の導出④

Schrödinger方程式の導出の続きです。

(式番号は前回の記事での番号を引き継いでいます)

前回の記事はこちらのURLです。

前回の記事から波動性を表す方程式の導出を行い、その続きの記事になります。導出を目指している波の方程式は式(3)です。

$\Large\dfrac{d^2X(x)}{dx^2}+\dfrac{4\pi^2}{\lambda^2}=0\tag{3}$

全体の手順はこちらです。

1. 波動方程式より波の変位式が解となることを確認
2. 波動方程式の位置と時間に関しての変数分離
3. 波動方程式の位置に関する微分方程式の係数の算出

この記事では手順3に取り組みます。

前回の記事で、波の微分方程式を位置xと時間tの2本の微分方程式だということを導出しました。

$\Large{\dfrac{\partial^2X(x)}{\partial x^2}+KX(x)} = \Large{0}\tag{14}$

$\Large{\dfrac{\partial^2T(t)}{\partial t^2}+Kv^2T(t)} = \Large{0}\tag{15}$

次に、波の一般式(t=0)を示します。

$\Large{y} = -\Large{A}sin(\dfrac{2\pi}{\lambda}x)\tag{16}$

ここで、式16を式14に代入します。この時、 $y$ を $X(x)$ と考えます。

そうすると、

$\Large{\dfrac{\partial^2X(x)}{\partial x^2}+KX(x)} = \Large{(\dfrac{4\pi^2}{\lambda^2}-K)}\Large{A}sin(\dfrac{2\pi}{\lambda}x)\tag{17}$

式17より、式18の時に右辺は0となります。

$\Large{K}=\Large\dfrac{4\pi^2}{\lambda^2}\tag{18}$

このことから、式18が解になります。

この結果をまとめると、位置xに関する波の微分方程式は式3となり、導出が完了しました。

$\Large\dfrac{d^2X(x)}{dx^2}+\dfrac{4\pi^2}{\lambda^2}\Large{X(x)}=0\tag{3}$

次の記事でシュレディンガー方程式の導出が完成します。

やっとです。

今回はここまでです。

お疲れ様でした。

[参考文献]