シュレディンガー(Schrödinger)方程式の導出③

Hirokikiです。

Schrödinger方程式の導出の続きです。

前回の記事はこちらのURLです。

hashiwatashi.hatenadiary.jp

前回は、波動方程式の解が波の変位式であることを確認を行いました。

式番号は前回の記事での番号を引き継いでいます。

この記事では式(3)を導出するために手順2に取り組みます。

$\Large\dfrac{d^2X(x)}{dx^2}+\dfrac{4\pi^2}{\lambda^2}=0\tag{3}$

全体の手順はこちらです。

$1. 波動方程式より波の変位式が解となることを確認 \\ 2. 波動方程式の位置と時間に関しての変数分離 \\ 3. 波動方程式の位置に関する微分方程式の係数の算出$

では始めましょう。

$2. 波動方程式の位置と時間に関しての変数分離 \\$

前回の記事(シュレディンガー(Schrödinger)方程式の導出②)にもある通り、波の変位式である式(7)は位置 $x$ と時間 $t$ に関する式です。

$\Large{y}=A\sin\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}\tag{7}$

そのため、式(6)の微分方程式を解く際に変数分離という方法を使います。

$\Large\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2}\tag{6}$

つまり式(7)の変位 $y$ は、位置 $x$ と時間 $t$ の関数なので $y(x,t)$ と表し、 $x$ だけの関数 $X(x)$ と $T(t)$ だけの関数の積で表されると考えます。

$\Large{y(x,t)}=X(x)T(t)\tag{11}$

式(11)を式(6)の両辺に代入します。

代入後、左辺では $T(t)$ が、右辺では $X(x)$ が各辺での演算子に依存しないため、演算子の前に出します。次に両辺を $X(x)T(t)$ で割り、左辺は $x$ のみに関する式、右辺は $t$ のみに関する式とします。

$\begin{aligned} \Large{\frac{\partial^2}{\partial x^2}\{X(x)T(t)\}}& =\Large{\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\{X(x)T(t)\}} \\ \Large{T(t)\frac{\partial^2}{\partial x^2}X(x)}& =\Large{X(x)\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}T(t)} \\ \Large{\frac{1}{X(x)}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X(x)}& =\Large{\dfrac{1}{v^2}\frac{1}{T(t)}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}T(t)} \\ \end{aligned}\tag{12}$

式(12)のように全く別の変数で決まる値が常に等しくなるには、両辺の値が定数である必要があります。そこで両辺の値を $-K$ とします。マイナスの符号は、項を移行した時に式が綺麗になるためです。

$\begin{aligned} \Large{\frac{1}{X(x)}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X(x)}& =\Large{\dfrac{1}{v^2}\frac{1}{T(t)}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}T(t)} \\ & = \Large{-K} \end{aligned}\tag{13}$