シュレディンガー(Schrödinger)方程式の導出②

Hirokikiです。

Schrödinger方程式の導出の続きです。

前回の記事はこちらのURLです。

hashiwatashi.hatenadiary.jp

前回は、粒子性を表す方程式の導出を行いました。

式番号は前回の記事での番号を引き継いでいます。

この記事から波動性を表す方程式の導出を行います。導出する方程式は式(3)です。

$\Large\dfrac{d^2X(x)}{dx^2}+\dfrac{4\pi^2}{\lambda^2}=0\tag{3}$

式(3)を導出するための手順をまとめておきます。

$1. 波動方程式より波の変位式が解となることを確認 \\ 2. 波動方程式の位置と時間に関しての変数分離 \\ 3. 波動方程式の位置に関する微分方程式の係数の算出$

では順番にいきましょう。

$1. 波動方程式より波の変位式が解となることを確認$

波動方程式は、波の運動を記述する運動方程式で、式(6)のように表されます。

$\Large\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2}\tag{6}$

一方、代表的な波の変位式は、式(7)のように表されます。

$\Large{y}=A\sin\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}\tag{7}$

式(7)は位置 $x$ と時間 $t$ に関する式です。

式(6)の波動方程式の解が式(7)の波の変位式であることを確認するために、式(6)の両辺にそれぞれ式(7)を代入して確認します。

ではまず式(6)の左辺からです。

$\begin{aligned} \Large{\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}}& = \Large{\frac{\partial^2}{\partial x^2} A\sin\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}} \\ & = \Large{\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\partial}{\partial x} A\cos\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}} \\ & = \Large{-\frac{(2\pi)^2}{\lambda^2} A\sin\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}} \\ \end{aligned}\tag{8}$

次に式(6)の右辺です。

$\begin{aligned} \Large{\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}} & = \Large{\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} A\sin\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}} \\ & = \Large{\frac{1}{v^2}\frac{2\pi}{T}\frac{\partial}{\partial t} A\cos\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}} \\ & = \Large{-\frac{1}{v^2}\frac{(2\pi)^2}{T^2} A\sin\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}} \\ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 & = \Large{-\frac{1}{(\frac{\lambda}{T})^2}\frac{(2\pi)^2}{T^2} A\sin\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}} \\ & = \Large{-\frac{(2\pi)^2}{\lambda^2} A\sin\{2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})\}} \\ \end{aligned}\tag{9}$